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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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9. Dadas ff y gg, calcular h=g∘fh=g \circ f. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de hh y de h−1h^{-1}.
b) f(x)=4x−2,g(x)=x+22x−3+1f(x)=4 x-2, \quad g(x)=\frac{x+2}{2 x-3}+1

Respuesta

Son tres ejercicios en uno:

1. Calcular la composición de funciones -> h(x)h(x)
2. Calcular la inversa de la función -> h−1(x)h^{-1}(x)
3. Calcular las asíntotas de ambas funciones



1. Calculemos la composición de funciones:


f(x)=4x−2f(x) = 4x-2,   g(x)=x+22x−3+1g(x) = \frac{x+2}{2x-3}+1

h(x)=(g∘f)(x)=g(f(x))=(4x−2)+22(4x−2)−3+1=4x8x−7+1h(x) = (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{(4x-2)+2}{2(4x-2)-3}+1 = \frac{4x}{8x-7}+1

• h(x)=4x8x−7+1h(x) = \frac{4x}{8x-7}+1
 

2. Vamos a obtener la inversa de h(x)h(x):

  y=4x8x−7+1y = \frac{4x}{8x-7}+1
x=4y8y−7+1x = \frac{4y}{8y-7}+1
(x−1)(8y−7)=4y(x-1)(8y-7) = 4y
8xy−7x−8y+7=4y8xy-7x-8y+7 = 4y
−7x+7=y(12−8x)-7x+7 = y(12-8x)
y=−7x+7−8x+12y = \frac{-7x+7}{-8x+12}
• h−1(x)=−7x+7−8x+12h^{-1}(x) = \frac{-7x+7}{-8x+12}


 3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:


-> Asíntotas de la función h(x)h(x):

AH: 

lim⁡x→+∞4x8x−7+1=∞∞+1=∞∞\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4x}{8x-7}+1 = \frac{\infty}{\infty}+1 = \frac{\infty}{\infty}
lim⁡x→+∞4xx(8−7x)+1\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4x}{x(8-\frac{7}{x})}+1
lim⁡x→+∞48−7x+1=12+1=32\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4}{8-\frac{7}{x}}+1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}
lim⁡x→−∞4x8x−7+1=∞∞+1=∞∞\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{4x}{8x-7}+1 = \frac{\infty}{\infty}+1 = \frac{\infty}{\infty}
lim⁡x→−∞4xx(8−7x)+1\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{4x}{x(8-\frac{7}{x})}+1

lim⁡x→−∞48−7x+1=12+1=32\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{4}{8-\frac{7}{x}}+1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}

• Por lo tanto, h(x)h(x) tiene asíntota horizontal en y=32y=\frac{3}{2}

AV: Ahora para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
8x−7≠08x-7 \neq 0
8x≠78x \neq 7
x≠78x \neq \frac{7}{8}
Veamos qué pasa en el valor x=78x=\frac{7}{8}
lim⁡x→784x8x−7+1=∞+1=∞\lim_{x\rightarrow \frac{7}{8}} \frac{4x}{8x-7}+1 = \infty + 1 = \infty

• Por lo tanto, h(x)h(x) tiene asíntota vertical en x=78x=\frac{7}{8}


-> Asíntotas de la función h−1h^{-1}:

AH: 

lim⁡x→+∞−7x+7−8x+12=lim⁡x→+∞x(−7+7x)x(−8+12x)=78\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x(-7+\frac{7}{x})}{x(-8+\frac{12}{x})} = \frac{7}{8}
lim⁡x→−∞−7x+7−8x+12=lim⁡x→−∞x(−7+7x)x(−8+12x)=78\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x(-7+\frac{7}{x})}{x(-8+\frac{12}{x})} = \frac{7}{8}


• Por lo tanto hay una asíntota horizontal en y=78y=\frac{7}{8}

AV: Ahora para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
−8x+12≠0-8x+12 \neq 0
x≠32x \neq \frac{3}{2}
Veamos qué pasa en el valor x=32x=\frac{3}{2}
lim⁡x→32+−7x+7−8x+12=−72+0+=−∞\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}^+} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \frac{-\frac{7}{2}^+}{0^+} = -\infty
lim⁡x→32−−7x+7−8x+12=−72−0−=+∞\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}^-} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \frac{-\frac{7}{2}^-}{0^-} = +\infty

• Por lo tanto, h−1h^{-1} tiene asíntota vertical en x=32x=\frac{3}{2}
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Abigail
17 de septiembre 22:47
Profe cómo llegaste al dominio de h(x) inversa si el -8 pasa dividiendo? El resultado quedó como positivo. 
Otra cosa más, algo que no sé es cuando poner que hay asíntota en A.V o A.H, y cuando no hay. Me confundo
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Julieta
PROFE
19 de septiembre 15:53
@Abigail Hola Avi, no encuentro el cálculo que estás informando del -8 que pasa dividiendo. Escribime acá la cuenta por favor. 

Sobre cuándo es AV o AH, te recomiendo que mires el video de límites y asíntotas, porque es clave que entiendas eso antes de pasar a resolver estos ejercicios.
0 Responder